Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
., Xn} = 1.23.10.Niech X1,., Xn będzie próbą z rozkładu E (1/�), gdzie � > 0 jest nieznanymparametrem.Dla parametru � zakładamy rozkład a priori G (2, 1/3).Estymujemyparametr � przy funkcji straty postaciL(�, a) = e(�-a) - (� - a) - 1.Wyznaczyć estymator bayesowski a parametru �.23.11.Niech X1,., Xn, gdzie n > 1, będzie próbą z rozkładu W ei (2, 1/�), gdzie� > 0 jest nieznanym parametrem.Zakładamy, że parametr � ma rozkład a priori�G (�, 1/�).Wyznaczyć estymator bayesowski � parametru � przy funkcji straty Es-� �schera L(�, �) = ec�(� - �)2, gdzie c = 0 jest ustaloną liczbą.823.12.Niech X1, X2,., Xn będzie próbą z rozkładu N (�1, �2) o nieznanych para-metrach �1 i �2 i niech rozkład a priori parametru � = (�1, �2) ma gęstość1�(�) " (-" 3 odrzucamy dla tych wartości {x1, x2, x3, x4}, dla którychprawdopodobieństwo a posteriori zbioru {� : � > 3} jest większe niż 0.5.Wyznaczyćobszar krytyczny testu.cCopyright � Stanisław Jaworski & Wojciech ZielińskiWersja 17/5/2012 Podejmowanie decyzji statystycznych 15524.Podejmowanie decyzji statystycznychModel statystyczny{X , {P� : � " �}}1.Zbiór obserwacji X2.Zbiór stanów natury �3.Zbiór decyzji D4.Funkcja straty L(d, �) : D � � �! R5.Reguła decyzyjna � : X �! D6.Ryzyko reguły �: R�(�) = E�{L(�(X), �)}Zadanie: znalezć regułę � optymalizującą ryzykoOptymalizacja:1.jednostajna minimalizacja ryzyka2.zasada minimaksu3.reguła BayesaEstymacja1.Zbiór decyzji D = � = R2.Funkcja straty L(d, �) = (d - �)23.Reguła decyzyjna �: estymator parametru �4.Ryzyko reguły �: błąd średniokwadratowyJeżeli ograniczymy się do takich reguł �, żeE��(X) = �, "� " �to reguła jednostajnie minimalizująca ryzyko jest ENMW.Weryfikacja hipotez1.Zbiór decyzjiD = {d1 = {� " �0}, d2 = {� 8" �0}}2.Funkcja straty L(d, �)� " �0 � 8" �0d1 0 1d2 1 03.Reguła decyzyjna �: test �4.Ryzyko reguły �: prawdopodobieństwo błędnego wnioskowaniacCopyright � Stanisław Jaworski & Wojciech Zieliński156 Podejmowanie decyzji statystycznych Wersja 17/5/2012Jeżeli ograniczymy się do takich reguł �, żeE��(X) d" �, "� " �0to reguła jednostajnie minimalizująca ryzyko jest testem jednostajnie najmoc-niejszym.Optymalizacja1.Jednostajna minimalizacja ryzykaZnalezć taką regułę �, że jeżeli �2 jest jakąkolowiek inną regułą, to2R�(�) d" R� (�) "� " �2.Zasada minimaksuZnalezć taką regułę �, że jeżeli �2 jest jakąkolowiek inną regułą, to2max R�(�) d" max R� (�)� �3.Zasada BayesaZnalezć taką regułę �, że jeżeli �2 jest jakąkolowiek inną regułą, to+" +"2R�(�)�(d�) d" R� (�)�(d�)� �+"gdzie � jest taką miarą na zbiorze �, że �(d�) = 1�Zadania do samodzielnego rozwiązania24.1.Sprzedawca jest zainteresowany maksymalizacją zysku ze sprzedaży pewnego,łatwo psującego się towaru.Zakup jednego opakowania kosztuje go $20, zaś sprzedajeje za $50.Po jednym dniu niesprzedany towar należy wyrzucić jako niezdatny dospożycia.W ciągu stu dni sprzedawca zaobserwował, że klienci kupowali następująceilości towaru:Ilość towaru 10 11 12 13Ilość dni 15 20 40 25Ile towaru powinien sprzedawca zamówić, by mógł oczekiwać największego zysku?24.2.Przedsiębiorca zainteresowany jest zatrudnieniem w swojej firmie samochodowejkilku mechaników.Na kolejny rok przewidywane są następujące ilości godzin pracydla mechaników:Ilość godzin 10000 12000 14000 16000Prawdopodobieństwo.2.3.4.1Planowana zapłata za jedną godzinę pracy mechanika wynosi $9 zaś spodziewanyzysk z jednej godziny pracy $16.Mechanik może pracować 40 godzin w tygodniuoraz ma prawo do dwutygodniowego urlopu.Na podstawie podanych informacji podaćoptymalną liczbę mechaników, która powinna być zatrudniona.cCopyright � Stanisław Jaworski & Wojciech ZielińskiWersja 17/5/2012 Podejmowanie decyzji statystycznych 15724.3.Przedsiębiorstwo lotnicze otrzymuje propozycję zakupienia dziesięciu używa-nych samolotów, przy czym wszystkie są mniej więcej w takim samym stanie tech-nicznym.Pewna nieznana liczba � tych samolotów może latać 1000 godzin bez po-trzeby większych napraw i każdy z takich samolotów przyniesie zysk w wysokości1000p; każdy z pozostałych samolotów dozna jakiegoś poważniejszego uszkodzenia wciągu pierwszych 1000 godzin eksploatacji, co przyniesie przedsiębiorstwu stratę wwysokości 1000q.Należy zdecydować, czy przyjąć czy odrzucić ofertę.Przed podję-ciem decyzji przedsiębiorstwo może otrzymać pewne dalsze informacje, a mianowicieza cenę 1000r może otrzymać jeden samolot do prób, eksploatować go przez 1000 go-dzin i uzależnić swoją decyzję od tego, czy ten samolot latał 1000 godzin bez awarii,czy nie.Podać wszystkie reguły decyzyjne i ich ryzyka.Wybrać optymalną regułędecyzyjną.24.4.Pewna osoba zamierza sprzedawać napój Migotka w trakcie meczu piłki nożnej imusi zawczasu zdecydować o wielkości zamówienia.Przypuśćmy, że na każdym sprze-dawanym w trakcie gry litrze zyskuje m, zaś traci c na każdym zamówionym, lecznie sprzedanym.Załóżmy, że popyt na Migotkę w trakcie gry, mierzony w litrach, jestciągłą zmienną losową X o funkcji gęstości f i dystrybuancie F.Przy jakiej wysokościzamówienia oczekiwany zysk będzie maksymalny?24.5.Rozważmy zagadnienie decyzyjne, w którym � = {�1, �2} oraz D = {d1, d2, d3},funkcja straty określona jest w następujący sposób:d1 d2 d3�1 0 10 3�2 10 0 3Niech obserwowana zmienna losowa X ma rozkładP (X = 1|� = �1) = 0.75; P (X = 0|� = �1) = 0 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Linki